문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 르베그 적분 (문단 편집) === 가측 양함수의 적분 === [math(\mathcal{L}^+)]의 가측함수 [math(f)]의 적분은 다음과 같이 정의한다. {{{#!wiki style="text-align: center;" [math(\displaystyle\int f d\mu=\sup\left\{\int \phi \, d\mu\ \middle|\ 0\leq\phi\leq f,\ \phi \text{는 단순함수}\right\})]}}} 가측함수의 적분은 단순함수의 적분의 상한으로 정의되기 때문에 정의 자체를 이용하여 적분을 다루는 것은 복잡하다. 하지만 [math(f\in \mathcal{L}^+)]가 [math(f)]로 수렴하는 단조증가 단순함수열 [math(\left\{\phi_n\right\}\subset \mathcal{L}^+)]를 갖는다는 사실과 다음 정리를 함께 활용하여 [math(f)]의 적분을 간단하게 다룰 수 있다. ||'''단조 수렴 정리''' (Monotone Convergence Theorem) ----- [math(\mathcal{L}^+)]의 증가 함수열 [math(\{f_n\})]에 대하여 [math(f=\lim_{n\to\infty}f_n)]이라 하면 [math(\int f=\lim_{n\to\infty}\int f_n)]이다. || [math(f,\ g\in \mathcal{L}^+)]의 적분은 다음과 같은 성질을 가진다. a. 상수 [math(c\geq 0)]에 대하여 [math(\int cf=c\int f)]. a. [math(\int(f+g)=\int f+\int g)]. a. [math(f \leq g)]이면 [math(\int f \leq\int g)]. a. [math(X)]의 서로소 부분집합 [math(E)], [math(F)]에 대하여 [math(\int_{E\cup F}f=\int_E f+\int_F f)]. a. [math(\int f=0)]일 필요충분조건은 [math(f=0\ \text{a.e. })]이다. 위 성질을 이용하면 단조 수렴 정리의 가정에서 함수열 [math(\{f_n\})]의 [math(f)]로의 수렴 조건은 거의 모든 [math(x)]에서 [math(f)]로의 수렴으로 완화될 수 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기